手抄报三：乘法的运算定律

整数的乘法运算满足：交换律，结合律， 分配律，消去律。

随着数学的发展， 运算的对象从整数发展为更一般群。

群中的乘法运算不再要求满足交换律。 最有名的非交换例子，就是哈密尔顿发现的四元数群。 但是结合律仍然满足。

1、乘法交换律：ab=ba，注：字母与字母相乘，乘号不用写，或者可以写成·。

2、乘法结合律：(ab)c=a(bc)，

3、乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。

其他说法

在群上再装备另一种乘法， 则发展成为“环”， 两种乘法中的一种可以视为传统意义上的加法，因此要求满足分配律和交换律；但是另一种“乘法”却不要求交换律。

在环里面，我们不再要求消去律成立。 如果这个环有消去律，就叫做整环。

但是对于环来说， 不一定有“除法”的概念。 如果环有除法的话，就叫做“域”。

域是最接近我们平时所说的有理数集合的东西。 但是它包含了更多信息。

结合律

前面讲的这些代数对象的乘法都满足结合律。 实际上数学发展到后来， 产生了一些不满足结合律的乘法。

最经典的就是所谓的李(Lie)括号

巧算

乘法是数学中基本运算之一。假设a乘b等于c，即记为ab = c或a·b =c。

中国古代利用算筹进行乘法计算。筹算乘法分三层：上位是被乘数，中位是积，下位是乘数。先由乘数的最大一位去乘被乘数，乘完后去掉这位的算筹，再用第二位数去乘，两次之积对应位上的数相加，乘完为止。例如81 × 81，先把乘数和被乘数分别放在上位和下位，如图（a）。用80去乘81得6480，「8」用完了，便掉去，如图（b）。再用1去乘81得81加到6480上，即等于6561，「1」亦用完了，便掉去，得图（c）。

（a）（b）（c）

计算的层次就是把多位数变为用单位数去乘多位数，乘一位加一位，基本原理与现在通用的笔算乘法完全一样，只是使用乘数的次序与现在作法相反。